Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría (Baldor)

Prólogo

El estudio de la Geometría en la enseñanza media es uno de los puntos que más se ha discutido y se discute en las conferencias nacionales e internacionales, que sobre la enseñanza de la matemática se celebran en todo el mundo.
En primer lugar, debemos precisar a qué ciclo damos el nombre de enseñanza media y para ello lo mejor será indicar la edad que comprende, y que de una manera general son los estudios realizados de los 12 a los 17 o 18 años, divididos en dos etapas: enseñanza secundaria o prevocacional de los 12 a los 15 años (tres años) y enseñanza preparatoria * de los 15 a los 18 (tres años). En muchos países los seis años forman el bachillerato.
En segundo lugar, debemos señalar lo que entendemos por “matemática moderna” y por “revolución de las matemáticas escolares”. Las características de la nueva matemática son, dice el Dr. Luis A. Santaló (Argentina) “su poder de síntesis y la variedad de nuevos dominios en que es aplicable, consecuencias de su gran generalidad y de su construcción axiomática”. El poder de síntesis permite que teorías de distinto origen, y desarrolladas independientemente, se vean englobadas como casos particulares de teorías más amplias. La verdad de nuevos dominios se ha logado con teorías modernas que, como la teoría de juegos de J. Von Neumann, han permitido tratar matemáticamente disciplinas del campo de la economía, la sociología, la estrategia, etc., que antes se mantenían al margen de las ciencias exactas. La biología también necesita de ramas matemáticas como la estadística.
Al hablar de revolución de las matemáticas escolares nos referimos, principalmente, a la búsqueda de lo que hay que suprimir de la matemática tradicional para poder dedicar un tiempo a la enseñanza de temas que antaño se reservaban a estudios en un nivel superior. También la revolución se refiere a la manera de enseñar los temas tradicionales y los nuevos, sin perder de vista que la mayor parte de lo que se llama matemáticas antiguas sigue siendo lo más importante y debe continuar enseñándose.
Al aplicar estos conceptos a la Geometría nos encontramos con una situación bien curiosa: al decir muchos matemáticos que la Geometría de Euclides debe desaparecer, porque no tiene nada que ver con la matemática moderna, que es estéril y que se halla fuera del camino principal de los adelantos matemáticos, pudiendo relegarse a los archivos para su uso de los historiadores del mañana, criterios, que se resumen en la célebre frase de Dieudonné en el Seminario de Royaumont (Francia) “¡abajo Euclides, basta de triángulos!”, han logrado, al ser mal interpretados, que no se enseñe geometría sintética y, en consecuencia, son ya mucho los países latinoamericanos en los que, prácticamente, el estudiante no conoce esta disciplina, con lo que su formación matemática presenta serias deficiencias. Pero son muchos los profesores de América Latina que opinan como el Prof. Omar Catunda (Brasil) quien, en la Primera Conferencia Interamericana sobre Enseñanza de la Matemática celebrada en Bogotá (Colombia) en 1961, dijo: en mi país no debe decirse “abajo Euclides” sino “¡al menos Euclides!”
La mala interpretación que ha conducido al estado de cosas que señalamos procede principalmente de no haber precisado lo que se entiende por enseñanza media. Lo dicho por Dieudonné y otros profesores universitarios sobre Euclides, se refiere a la enseñanza de la Geometría en el grado superior de la segunda enseñanza (15 a 18 años). Es este grado donde, después de haber adquirido los conocimientos básicos de álgebra moderna, ha de volverse a la Geometría pero con tratamiento analítico y en forma vectorial. Un tratamiento analítico a partir del concepto de espacio vectorial permitirá volver a la axiomática por el camino algebraico de los espacios vectoriales.
Pero en la enseñanza primaria (6 a 12 años) los alumnos deben adquirir la cantidad de ideas geométricas que sirvan de base para aprender, de los 12 a los 15 años, la parte de geometría euclidiana necesaria para llegar a los conceptos de punto, figura, recta, plano y espacio, como construcciones puramente mentales y generalizar las relaciones entre estos elementos hasta el punto, como dice del Dr. Fehr (EE. UU.), de poder establecer cortas cadenas deductivas de teoremas sobre algo menos que una base axiomática.
Este criterio viene apoyado en el hecho de que, si pensamos en todos los alumnos que cursan la segunda enseñanza, no solamente en los futuros matemáticos, la geometría euclidiana crea un hábito de raciocinio que la hace importante para la conformación del individuo organizado. Y no es válida la opinión de algunos profesores de que es más útil iniciar a las mentes jóvenes en una estructura matemática axiomática enseñando las estructuras del Algebra, porque la introducción del álgebra moderna se ha visto que es difícil y hay que hacerlo en una etapa superior (de los 16 a los 18 años) y siempre que se haya alcanzado una formación matemática bastante completa.
El texto del Prof. Baldor tiende al concepto actual de la enseñanza de la Geometría en el ciclo secundario (12 a 15 años). No se trata de enseñar una Geometría euclidiana al estilo clásico sino aprovechar el valor formativo de esta materia en el sentido axiomático, que constituye la esencia de toda la matemática, estableciendo los teoremas como “cortas cadenas deductivas sobre algo menos que una base estrictamente axiomática”. La obra señala un provechoso término medio entre la enseñanza de tipo clásico y lo que podríamos llamar un enfoque contemporáneo de la Geometría que debe iniciarse en el grado superior del bachillerato y en la Universidad.
Este es el punto de vista que actualmente se está dando a los textos de Geometría euclidiana en la mayoría de los países. En el Seminario Aarhus organizado por la International Commission for Mathematical Instruction (I.C.M.I.) celebrado del 30 de mayo al 2 de junio de 1960 en Dinamarca y en la reunión celebrada en Bolonia (Italia) del 4 al 7 de octubre de 1961, concentraron principalmente sus trabajos en el estudio de los axiomas que permitan conservar la geometría de Euclides.
De los textos tradicionales el autor ha suprimido un gran número de teoremas, lemas, escolios, y corolarios, principalmente en la geometría del espacio. Ha conservado el enunciado de muchas propiedades pues el alumno debe aprender lo más posible. También ha procurado que el alumno vea en la deducción matemática un método para comprender cosas no evidentes, soslayando las demostraciones complicadas de proposiciones, cuyo enunciado, parezca al alumno de una claridad tal que no sienta la necesidad de una justificación. El suprimir demostraciones complicadas de propiedades evidentes, hace más agradable el estudio de la matemática y permite hacer ver al alumno, con mayor facilidad, los fines que la matemática persigue. Muchas de estas propiedades se pueden aceptar como postulados cuya comprobación suele ser sencilla.
La inclusión de la Trigonometría puede ser debido a la necesidad de ajustarse a la mayoría de los programas oficiales de la materia. En realidad, la Trigonometría tiende a desaparecer como disciplina independiente y así debe entenderlo el Prof. Baldor al incluirla como unos capítulos de la Geometría. La importancia de la Trigonometría en el siglo pasado, en América, era por la necesidad de su aplicación en la navegación, la agrimensura y la astronomía. En la actualidad, lo más importante de la Trigonometría es el estudio de las propiedades de las funciones trigonométricas y por esto su estudio, en nivel superior, ha pasado a formar parte de la Teoría de funciones. La parte elemental que incluye el Prof. Baldor en su texto es un buen fundamento para los estudios posteriores.
Sobre la didáctica del libro se puede decir que el autor utiliza en esta obra, muy acertadamente, el color, como eficaz ayuda para desarrollar el espíritu estético y, en algunos casos, descubrir, de manera óptica, ciertos conceptos y relaciones.
Para que el alumno pueda aprovechar el texto a su máximo, necesita de la ayuda del profesor. Es éste quien tendrá que decidir, en cada caso, lo que debe suprimirse y lo que debe ampliarse. La experiencia le indicará el valor efectivo de la obra para el fin que le esta señalado: establecer las bases para una mejor comprensión de los temas de Geometría que le serán enseñados en el ciclo superior, según las nuevas normas señaladas en las distintas reuniones internacionales de los organismos dedicados al estudio de la enseñanza de la matemática en nuestra época.

México, julio de 1966.

MARCELO SANTALÓ
Profesor de la Escuela Nacional Preparatoria de
la Universidad Nacional Autónoma de México

índice
Breve reseña histórica
Capítulo 1 Generalidades
Capítulo 2 Ángulos
Capítulo 3 Perpendicularidad y paralelismo. Rectas cortadas por una secante. Ángulos que se forman
Capítulo 4 Ángulos con lados paralelos o perpendiculares
Capítulo 5 Triángulos y generalidades
Capítulo 6 Casos de igualdad de triángulos
Capítulo 7 Polígonos
Capítulo 8 Cuadriláteros
Capítulo 9 Segmentos proporcionales
Capítulo 10 Semejanza de triángulos
Capítulo 11 Relaciones métricas en los triángulos
Capítulo 12 Circunferencia y círculo
Capítulo 13 Ángulos en la circunferencia
Capítulo 14 Relaciones métricas en la circunferencia
Capítulo 15 Relaciones métricas en los polígonos regulares
Capítulo 16 Polígonos semejantes. Medida de la circunferencia
Capítulo 17 Áreas
Capítulo 18 Rectas y planos
Capítulo 19 Prismas y pirámides
Capítulo 20 Volúmenes de los poliedros
Capítulo 21 Cuerpos redondos
Capítulo 22 Trigonometría
Capítulo 23 Funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, etc.
Capítulo 24 Relaciones entre las funciones trigonométricas, identidades y ecuaciones trigonométricas
Capítulo 25 Funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos
Capítulo 26 Funciones trigonométricas del ángulo duplo
Capítulo 27 Resolución de triángulos
Capítulo 28 Logaritmos. Logaritmos de las funciones trigonométricas
Capítulo 29 Aplicaciones de los logaritmos
Tablas matemáticas
Repaso de álgebra
Ejercicios adicionales