Cálculo – por Robert Adams – sexta edición

CONTRAPORTADA
Este libro de texto está concebido para cursos de Cálculo general, especialmente para los estudiantes de Ciencias e Ingeniería.

El objetivo de este manual es presentar el cálculo de una forma clara, coherente y legible y sobre todo de manera que sus lectores lo encuentren interesante. La mejor forma de profundizar en nuestra comprensión del cálculo es resolver ejercicios, y convencernos de que lo hemos entendido. Este libro contiene numerosos ejercicios, algunos de ellos son directos, que nos ayudarán a desarrollar nuestras propias destrezas en cálculo. Otros ejercicios están diseñados para ampliar la teoría desarrollada en el texto y mejorar, por tanto, nuestra comprensión de los conceptos del cálculo.

Novedades de esta edición:
• Los problemas y ejercicios están graduados por nivel de dificultad
• Contiene un capítulo completo dedicado a ecuaciones diferenciales
• Se presentan problemas que requieren el uso de un ordenador utilizando un software de matemáticas (como Maple o Mathematica) o bien una hoja de cálculo (por ejemplo, Lotus 123, Excel de Microsoft o Quattro Pro).

Prólogo
Cuando un libro de texto alcanza su sexta edición, sus lectores han llegado a ciertas expectativas que un autor no puede ignorar. El objetivo de este texto sigue siendo presentar el cálculo de una forma clara, coherente y legible, y sobre todo de manera que sus lectores lo encuentren interesante. La creación de un libro completo ha sido también un objetivo; es mejor cubrir muchos contenidos en el entendimiento de que los profesores y los estudiantes deberán saltarse algunos, que no considerar suficientes contenidos para cubrir las necesidades de usuarios con intereses y formación previa muy diversos. Dos temas periféricos que estaban presentes en la cuarta edición y se omitieron en la quinta, concretamente, introducciones muy breves a las series de Fourier (Sección 9.9) y a las funciones de variale compleja (Apéndice II) se han recuperado a petición de algunos usuarios que lamentaron mucho su desaparición.
Esta edición tiene pocos cambios en el orden de presentación de los contenidos. Se ha añadido algún material (véase la lista posterior), y no se ha eliminado nada significativo. No obstante, los procesos habituales de reescritura y ajuste fino del a presentación y un pequeño cambio en el tamaño de las páginas han tenido como resultado un número de páginas significativamente inferior. Los principales cambios en el texto son pocos, y se enumeran a continuación:
• Se ha incluido un capítulo completo (Capítulo 17) sobre Ecuaciones Diferenciales, que ha reabsorbido parte del material de EDs diseminado previamente por todo el texto, por ejemplo, las soluciones de EDs basadas en series del Capítulo 9. Sin embargo, algunos aspectos elementales de EDs como la solución de ecuaciones separables de primer orden y ecuaciones lineales, que son buenas aplicaciones de la integración, y la solución de ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes, cuyas soluciones se basan en recetas y utilizan las funciones exponenciales y trigonométricas, quedan en las Secciones 7.9 y 3.7, respectivamente. En los lugares adecuados del Capítulo 17, se hace referencia a estas secciones.
• Se han añadido varias páginas nuevas sobre probabilidad discreta al comienzo de la sección 7.8 (Probabilidad). Aunque el propósito de esta sección es ilustrar el uso de la integración al estudiar la probabilidad, los conceptos básicos de probabilidad se presentan mejor comenzando con el caso discreto.
• La utilización de Maple para manejar vectores, matrices y funciones con valores vectoriales hace uso ahora de los nuevos paquetes «LinearAlgebra» y «VectorCalculus». Esto simplifica grandemente las cosas. Afecta a los capítulos desde el 10 en adelante y ha tendido como consecuencia la reescritura completa de la Sección 10.7.
• Se ha añadido al Capítulo P (Preliminares) una nueva sección sobre polinomios y funciones racionales.
• Las Secciones 4.7 (Aproximaciones Lineales) y especialmente la 4.8 (Polinomios de Taylor) han sufrido cambios considerables en la notación y la presentación. Además, la Sección 9.6 (Series de Taylor y Maclaurin) han tenido muchos cambios y han absorbido lo que antes era una sección separada revisando la Fórmula de Taylor. Ahora el enfoque completo del Teorema de Taylor está más unificado, aunque todavía está dividido entre los capítulos 4 y 9.

Además de todo lo anterior, se han realizado numerosos pequeños cambios locales aquí y allá para mejorar el texto. Se han eliminado algunos ejemplos confusos o se han sustituido por otros más apropiados. Se han eliminado algunos ejercicios y se han añadido otros. Se han añadido algunas figuras nuevas y se han mejorado algunas otras. Se han cambiado algunas notaciones. Los intervalos abiertos se escriben ahora (a, b) del nuevo; aunque lógico, no parece adecuado. El proceso de hacer que el libro sea más agradable a los lectores sigue un curso y se basa en buena parte en los comentarios de los propios lectores.

Al estudiante
Cuando recibí mi primer curso de cálculo, no había un libro de texto prescrito, sino un libro denominado Calculus Made Easy que se recomendaba a todos aquellos que necesitábamos algo más que los apuntes tomados durante las clases. Compré el libro, esperando que sería como indicaba su título y que me facilitaría el aprendizaje del cálculo. No fue así.
¿Es el cálculo una materia muy difícil? No, realmente no, pero algunas veces se lo parece a los estudiantes, especialmente al principio, debido a las nuevas ideas y técnicas que se utilizan, y porque el éxito del aprendizaje del cálculo depende de tener una base muy sólida en las matemáticas previas (álgebra, geometría y trigonometría), sobre la que se pueda construir. Es conveniente revisar el material previo del Capítulo P (Preliminares) incluso si el profesor no lo menciona en clase. Al aprender cálculo dispondremos de herramientas muy útiles para analizar problemas en numerosos campos de interés, especialmente los que se consideran «científicos». Merece la pena adquirir estas herramientas, pero, como toda tarea que merece la pena, ésta requiere mucho esfuerzo de nuestra parte. No existe libro ni profesor que puedan evitar este requisito.
Al escribir este libro he intentado organizar el material de forma que resulte tan fácil como sea posible, pero no a expensas de «barrer las dificultades reales bajo la alfombra». Encontraremos que algunos conceptos son difíciles de entender cuando se presentan por primera vez. Cuando sea así, debemos releer el material despacio, si es necesario varias veces; pensar sobre él; formular preguntas para realizar a los estudiantes más experimentados, a nuestro tutor o a nuestro profesor. No hay que retrasarlo. Es importante resolver los problemas tan pronto como sea posible. Si no se entiende una cosa hoy, tampoco entenderemos cómo se aplica mañana. Las matemáticas son una «disciplina lineal»; construyen una idea basándose en la anterior.
Resolver los ejercicios es la mejor forma de profundizar en nuestra comprensión del cálculo, y de convencernos de que lo hemos entendido. Este libro contiene numerosos ejercicios; demasiados para intentar resolverlos todos. Algunos de ellos son ejercicios directos, que nos ayudarán a desarrollar nuestras propias destrezas en cálculo. Sin embargo, son más importantes los problemas que ayudan a desarrollar las habilidades de razonamiento y la forma de aplicar las técnicas aprendidas a situaciones concretas. En algunos casos habrá que planificar la forma de resolver un problema que requiera varios «pasos» diferentes antes de llegar a la respuesta. Otros ejercicios están diseñados para ampliar la teoría desarrollada en el texto y mejorar, por tanto, nuestra comprensión de los conceptos del cálculo.
Los ejercicios varían grandemente en dificultad. En general, los más difíciles aparecen hacia el final de la serie de ejercicios, pero la serie completa no está graduada estrictamente de esta forma porque los ejercicios sobre un tema específico tienden a agruparse. Algunos ejercicios de las series regulares se marcan con un asterisco *. Este símbolo indica que el ejercicio es o bien algo más teórico o algo más difícil que la mayoría. Los que son más teóricos no tienen por qué ser difíciles; algunas veces son bastante fáciles. La mayoría de los problemas en la sección de Problemas Avanzados, que forma parte del Repaso del Capítulo al final de la mayoría de los capítulos, tienen mayor dificultad, aunque en general no estén marcados con un *.
No hay que desanimarse si no podemos hacer todos los ejercicios. Algunos son de hecho muy difíciles, y sólo unos pocos estudiantes dotados serán capaces de resolverlos. Sin embargo, debemos ser capaces de realizar una amplia mayoría de ellos. Algunos requerirán mucho más esfuerzo que otros. Cuando encontramos dificultades con los problemas, es conveniente proceder como sigue:
1. Lea y vuelva a leer el problema hasta entender exactamente la información que se da y qué hay que calcular o qué hay que hacer.
2. Si es apropiado, dibuje un diagrama ilustrando las relaciones entre las magnitudes involucradas.
3. Si es necesario, introduzca símbolos para representar las magnitudes del problema. Utilice letras apropiadas (por ejemplo, V para volúmenes, t para el tiempo). No creamos necesario utilizar x e y para todo.
4. Desarrolle un plan de ataque. Esto es en general la parte más difícil. Busque relaciones conocidas; intente reconocer modelos; vuelva sobre los ejemplos desarrollados en la sección actual o en algunas secciones previas relevantes; intente descubrir posibles conexiones entre el problema bajo estudio y otros que se han visto anteriormente. ¿Se puede simplificar el problema realizando suposiciones adicionales? Si se puede resolver una versión simplificada, ello puede ayudarnos a decidir qué hacer con el problema dado: ¿se puede dividir el problema en varios casos, siendo cada uno de ellos un problema más simple? Al leer los ejemplos del texto, esté atento para descubrir métodos que puedan resultar útiles más adelante en otros contextos.
5. Intente seguir los pasos de su plan. Si tenemos problemas con alguno o varios de ellos, puede ser necesario modificar el plan.
6. Al llegar al resultado de un problema, pregúntese siempre si es razonable. Si no lo es, busque para determinar los lugares donde se puede haber cometido un error.

Las respuestas de la mayoría de los ejercicios con numeración impar se proporcionan al final del libro. Las excepciones son los ejercicios que no tienen respuestas cortas, por ejemplo «Demuestre que.» o «Pruebe que.», que son problemas donde la respuesta es la solución completa. Hay disponible un Manual de Soluciones para el Estudiante que contiene soluciones detalladas a los ejercicios con numeración par.
Además de los asteriscos utilizados para marcar los problemas más difíciles o teóricos, los símbolos siguientes se utilizan para marcar ejercicios de equipos especiales:

✥ Ejercicios pertenecientes a ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial (no se utiliza en secciones que están completamente dedicadas a EDs).

📱 Problemas que requieren el uso de una calculadora. A menudo se necesitará una calculadora científica. Algunos de sus problemas pueden sugerir una calculadora programable.

Problemas que requieren un software de gráficos por ordenador en un ordenador personal.

💻 Problemas que requieren el uso de un ordenador. En general requerirán software de matemáticas por ordenador (por ejemplo, Maple o Mathematica) o bien un programa de hoja de cálculo (por ejemplo, Lotus 123, Excel de Microsoft o Quattro Pro).

Al profesor
Como sugiere su título, este libro pretende cubrir todo el material en programas de cálculo de tres o cuatro semestres, con funciones reales de una sola variable real (cálculo diferencial en los Capítulos 1-4 y cálculo integral en los Capítulos 5-8), así como funciones vectoriales de una sola variable real (en el Capítulo 11), funciones reales de varias variables reales (en los Capítulos 15-16). El Capítulo 9 está dedicado a las sucesiones y las series y su posición es más bien arbitraria. El Capítulo 10 contiene material básico necesario sobre vectores y geometría en el espacio tridimensional, y es de utilidad, aunque no absolutamente esencial, para la comprensión del material multivariable subsiguiente. La materia que se incluye es muy amplia para incluirla en cualquier curso. Se debe seleccionar qué material incluir y cuál omitir, teniendo en cuenta la formación previa y las necesidades de los estudiantes.
En la Universidad de British Columbia, donde el autor lleva enseñando 34 años, el cálculo se divide en cuatro trimestres; los dos primeros se ocupan del cálculo de una sola variable (Capítulos1-9); el tercero trata las funciones de varias variables (parte del Capítulo 10, y los Capítulos 12-14), y es seguido por menos estudiantes, y el cuarto se ocupa del cálculo vectorial (parte del Capítulo 10, y los Capítulos 11, 15-16) y es seguido por un número relativamente reducido de estudiantes, principalmente de ciencias matemáticas, físicas e ingeniería. En ninguno de estos cursos hay suficiente tiempo como para tratar todo el material; siempre se omiten algunas secciones. Sin embargo, la amplia selección de temas y aplicaciones proporciona a los estudiantes una experiencia de aprendizaje rica y variada.
El texto está diseñado para cursos de cálculo general, especialmente para los estudiantes de ciencias e ingeniería. La mayor parte del material requiere sólo un conocimiento previo razonable en álgebra y geometría analítica (véase el Capítulo P, Preliminares, donde se revisa este material). Sin embargo, alguna materia opcional es más sutil y/o teórica, y está dirigida principalmente a los estudiantes más duros.

¿Qué es el cálculo?
Al principio del siglo XVII el matemático alemán Johannes Kepler analizó un amplio número de observaciones astronómicas realizadas por el astrónomo danés Tycho Brahe y concluyó que los planetas se movían alrededor del so en órbitas elípticas. Él no sabía por qué. Cincuenta años más tarde, el matemático y físico inglés Isaac Newton lo resolvió.
¿Por qué los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del sol? ¿Por qué los vientos de los huracanes giran en espiral en sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio Norte? ¿Cómo se pueden predecir los efectos de los cambios de los tipos de interés en la economía y en los mercados de valores? ¿Cuándo desaparecerá suficiente material radiactivo para permitir un manejo seguro? ¿Cómo afectan las corrientes oceánicas calientes del Pacífico ecuatorial al clima del este de Norteamérica? ¿Cuánto tiempo permanece la concentración de un medicamento en sangre en niveles efectivos? ¿Cómo se propagan las ondas de radio por el espacio? ¿Por qué una epidemia se extiende cada vez más rápido y después se ralentiza? ¿Cómo puedo asegurar que el puente que acabo de diseñar no será destruido por una tormenta?
Estas y muchas otras cuestiones de interés e importancia en nuestro mundo se relacionan directamente con nuestra capacidad de analizar el movimiento y la forma en que las magnitudes cambian con respecto al tiempo o a otra magnitud. El álgebra y la geometría son herramientas útiles para describir relaciones entre magnitudes estáticas, pero en ellas no intervienen conceptos apropiados para describir cómo cambia una magnitud. Para hacer esto necesitamos nuevas operaciones matemáticas que van más allá de las operaciones algebraicas des suma, resta, multiplicación y división y del cálculo de potencias y raíces. Necesitamos operaciones que midan la forma en que varían magnitudes relacionadas.
El cálculo proporciona las herramientas para describir el movimiento cuantitativamente. Presente dos nuevas operaciones denominadas diferenciación e integración que, como la suma y la resta, son opuestas entre sí; lo que hace la diferenciación, lo deshace la integración.
Por ejemplo, consideremos el movimiento de una roca que cae. La altura (en metros) de la roca t segundos después de que se lanza desde una altura h0 es una función h(t) dada por

h(t) = h0 – 4,9 t2

La gráfica de y = h(t) se muestra en la figura siguiente:



El proceso de diferenciación hace posible obtener una nueva función, que denotaremos h'(t), y denominaremos derivada de h con respecto a t, que representa la velocidad de cambio de la altura de la roca, es decir, su velocidad en metros/segundo:

h´(t) = -9,8t

Al contrario, si conocemos la velocidad de la roca que cae en función del tiempo, la integración permite obtener la función altura h(t).
El cálculo fue inventado de manera independiente y de forma algo diferente por dos matemáticos del siglo XVII: Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibnitz. La motivación de Newton era un deseo de analizar el movimiento de objetos móviles. Utilizando su cálculo pudo formular sus leyes del movimiento y de la gravitación y concluir a partir de ellas que los planetas debían moverse alrededor del sol en órbitas elípticas.
Muchas de las más fundamentales e importantes leyes de la naturaleza se expresan convenientemente en forma de ecuaciones en las que intervienen velocidades de cambio de magnitudes. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales, y las técnicas para su estudio y resolución están en el corazón del cálculo. En el ejemplo de la roca que cae la ley apropiada es la Segunda Ley de Newton del Movimiento:

Fuerza = masa x aceleración
La aceleración (-9,8m/s2) es la velocidad de cambio (la derivada) de la velocidad, que es a su vez la velocidad de cambio (la derivada) de la función altura.
Una buena parte de las matemáticas se relacionan indirectamente en el estudio del movimiento. Vemos las rectas o las curvas como objetos geométricos, pero los antiguos griegos las veían como trayectorias trazadas por puntos en movimiento. No obstante, el estudio de las curvas requiere conceptos geométricos como tangencia o área. El problema de la diferenciación está estrechamente relacionado con el problema geométrico de obtener rectas tangentes; de forma similar, la integración está relacionada con el problema geométrico de calcular áreas de regiones con fronteras curvas.
Tanto la diferenciación como la integración se definen en función de una nueva operación matemática denominada límite. El concepto de límite de una función se desarrollará en el Capítulo 1. Ése será el comienzo real del estudio del cálculo. En el capítulo denominado Preliminares revisaremos algunos conocimientos previos de álgebra y geometría necesarios para el desarrollo del cálculo.



Contenido

Prólogo
Al estudiante
Al profesor
Agradecimientos
¿Qué es cálculo

P Preliminares
P.1 Los números reales y la recta real
Intervalos
El valor absoluto
Ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos

P.2 Coordenadas cartesianas del plano
Escalas de los ejes
Incrementos y distancias
Gráficas
Líneas rectas
Ecuaciones de la recta

P.3 Gráficas de ecuaciones cuadráticas
Circunferencias y discos
Ecuaciones de parábolas
Propiedades de reflexión de las parábolas
Escalado de una gráfica
Desplazamiento de una gráfica
Elipses e hipérbolas

P.4 Funciones y sus gráficas
Convenio del dominio
Gráficas de funciones
Funciones pares e impares. Simetría y reflexiones
Reflexiones en rectas
Definición y dibujo de funciones con Maple

P.5 Combinación de funciones para crear otras nuevas
Sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos
Composición de funciones
Funciones definidas por tramos

P.6 Polinomios y funciones racionales
Raíces y factores
Raíces y factores de polinomios cuadráticos
Factorizaciones diversas

P.7 Las funciones trigonométricas
Identidades de utilidad
Algunos ángulos especiales
Fórmulas de sumas
Otras funciones trigonométricas
Cálculos con Maple
Repaso de trigonometría

1 Límites y continuidad
1.1 Ejemplos de velocidad, tasa de crecimiento y área
Velocidad media y velocidad instantánea
Crecimiento de un cultivo de algas
Área de un círculo
1.2 Límites de funciones
Límites unilaterales
Reglas para el cálculo de límites
El teorema del sándwich
1.3 Límites en el infinito y límites infinitos
Límites en el infinito
Límites en el infinito de funciones racionales
Límites infinitos
Uso de Maple para calcular límites
1.4 Continuidad
Continuidad en un punto
Continuidad en un intervalo
Existen muchas funciones continuas
Extensiones continuas y discontinuidades evitables
Funciones continuas en intervalos cerrados y finitos
Obtención de máximos y mínimos por métodos gráficos
Cálculo de raíces de ecuaciones
1.5 Definición formal de límite
Uso de la definición de límite para demostrar teoremas
Otras clases de límites
Repaso del capítulo

2 Diferenciación
2.1 Rectas tangentes y sus pendientes
Normales
2.2 La derivada
Algunas derivadas importantes
Notación de Leibniz
Diferenciales
Las derivadas tienen la propiedad del valor medio
2.3 Reglas de diferenciación
Sumas y productos por constantes
Regla del producto
Regla de la Inversa
Regla del Cociente
2.4 Regla de la Cadena
Cálculo de derivadas en Maple
Uso de la Regla de la Cadena en las fórmulas de diferenciación
Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)
2.5 Derivadas de funciones trigonométricas
Algunos límites especiales
Derivadas del seno y el coseno
Derivadas de otras funciones trigonométricas
2.6 El Teorema del Valor Medio
Funciones crecientes y decrecientes
Demostración del Teorema del Valor Medio
2.7 Aplicación de las derivadas
Aproximación de pequeños cambios
Velocidad de cambio media e instantánea
Sensibilidad a los cambios
Derivadas en economía
2.8 Derivadas de orden superior
2.9 Diferenciación implícita
Derivadas de orden superior
Regla General de la Potencia
2.10 Primitivas y problemas de valor inicial
Primitivas
La integral indefinida
Ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial
2.11 Velocidad y aceleración
Velocidad
Aceleración
Caída libre
Repaso del capítulo

3 Funciones trascendentes
3.1 Funciones inversas
Inversión de funciones que no son uno a uno
Derivadas de funciones inversas
3.2 Las funciones exponencial y logarítmica
Exponenciales
Logaritmos
3.3 La exponencial y el logaritmo natural
El logaritmo natural
La función exponencial
Exponenciales y logaritmos generales
Diferenciación logarítmica
3.4 Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento de exponenciales y logaritmos
Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial
Interés de inversiones
Crecimiento logístico
3.5 Funciones trigonométricas inversas
Función inversa del seno (o arcoseno)
Función inversa de la tangente (o arcotangente)
Otras funciones trigonométricas inversas
3.6 Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas
3.7 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
Procedimiento para resolver ay'' + b' + cy = 0
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico amortiguado
Repaso del capítulo

4 Aplicaciones de las derivadas
4.1 Tasas relacionadas
Procedimiento para problemas de tasas relacionadas
4.2 Problemas de valores extremos
Valores máximo y mínimo
Puntos críticos, puntos singulares y extremos
Cálculo de valores extremos absolutos
El test de la primera derivada
Funciones no definidas en intervalos cerrados y finitos
4.3 Concavidad y puntos de inflexión
El test de la segunda derivada
4.4 Dibujo de la gráfica de una función
Asíntotas
Ejemplos de dibujo formal de curvas
4.5 Problemas de valores extremos
Procedimiento para resolver problemas de valores extremos
4.6 Cálculo de raíces de ecuaciones
Método de Newton
Iteración del punto fijo
Rutinas «Solve»
4.7 Aproximaciones lineales
Aproximación de valores de funciones
Análisis del error
4.8 Polinomios de Taylor
Fórmula de Taylor
Notación O
4.9 Formas indeterminadas
Reglas de l'Hôpital
Repaso del capítulo

5 Integración
5.1 Sumas y notación sigma
Cálculo de sumas
5.2 Áreas como límites de sumas
El problema básico del área
Cálculo de algunas áreas
5.3 La integral definida
Particiones y sumas de Reimann
La integral definida
Sumas de Reimann generales
5.4 Propiedades de la integral definida
El Teorema del Valor Medio para integrales
Definición de integrales de funciones continuas por tramos
5.5 El Teorema Fundamental del Cálculo
5.6 El método de sustitución
Integrales trigonométricas
5.7 Áreas de regiones planas
Áreas entre dos curvas
Repaso del capítulo

6 Técnicas de integración
6.1 Integración por partes
Formas de reducción
6.2 Sustituciones inversas
Las sustituciones trigonométricas inversas
Completar el cuadrado
Otras sustituciones inversas
El cambio tan (/2)
6.3 Integrales de funciones racionales
Denominadores lineales y cuadráticos
Descomposición en fracciones simples
6.4 Integración mediante programas de computador o tablas
Uso de Maple para integración
Uso de tablas de integrales
6.5 Integrales impropias
Integrales impropias de tipo I
Integrales impropias de tipo II
Estimación de la convergencia y la divergencia
6.6 Regla del Trapecio y la Regla del Punto Medio
La Regla del Trapecio
La Regla del Punto Medio
Estimaciones del error
6.7 La Regla de Simpson
6.8 Otros aspectos de la integración aproximada
Aproximación de integrales impropias
Uso de la fórmula de Taylor
Integración de Romberg
Otros métodos
Repaso del capítulo

7 Aplicaciones de la integración
7.1 Cálculo de volúmenes mediante rodajas: Sólidos de revolución
Cálculo de volúmenes mediante rodajas
Sólidos de revolución
Tubos cilíndricos
7.2 Más volúmenes mediante rodajas
7.3 Longitud de un arco y área de una superficie
Longitud de un arco
Longitud de arco de la gráfica de una función
Áreas de superficie de revolución
7.4 Masas, momentos y centros de masas
Masa y densidad
Momentos y centros de masas
Ejemplos en dos y tres dimensiones
7.5 Centroides
Teorema de Pappus
7.6 Otras aplicaciones en física
Presión hidrostática
Trabajo
Energía potencial y energía cinética
7.7 Aplicaciones en negocios, finanzas y ecología
Valor actual de una serie de pagos futuros
Economía de explotación de recursos renovables
7.8 Probabilidad
Variables aleatorias discretas
Esperanza, media, varianza y desviación típica
Variables aleatorias continuas
La distribución normal
7.9 Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones separables
Ecuaciones lineales de primer orden
Repaso del capítulo

8 Cónicas, curvas paramétricas y curvas en polares
8.1 Cónicas
Parábolas
Propiedad focal de la parábola
Elipses
La propiedad focal de la elipse
Directrices de una elipse
Hipérbolas
Propiedad focal de una hipérbola
Clasificación de cónicas generales
8.2 Curvas paramétricas
Curvas planas generales y parametrizaciones
Algunas curvas planas de interés
8.3 Curvas paramétricas suaves y sus pendientes
Pendiente de una curva paramétrica
Dibujo de curvas paramétricas
8.4 Longitudes de arco y áreas de curvas paramétricas
Longitudes de arco y áreas de superficie
Áreas limitadas por curvas paramétricas
8.5 Coordenadas polares y curvas en polares
Algunas curvas en polares
Intersecciones de curvas en polares
Cónicas en polares
8.6 Pendientes, áreas y longitudes de arco de curvas en polares
Áreas limitadas por curvas en polares
Longitudes de arco de curvas en polares
Repaso del capítulo

9 Sucesiones, series y series de potencias
9.1 Sucesiones y convergencia
Convergencia de sucesiones
9.2 Series infinitas
Serie geométrica
Series telescópicas y series armónicas
Algunos teoremas sobre series
9.3 Tests de convergencia para series positivas
El test de la integral
Uso de cotas de integrales para estimar la suma de una serie
Tests de comparación
Tests de la razón y de la raíz
Uso de la serie geométrica para estimar la suma de una serie
9.4 Convergencia absoluta y condicional
El test de la serie alternante
Reordenación de los términos de una serie
9.5 Series de potencias
Operaciones algebraicas en series de potencias
Diferenciación e integración de series de potencias
Cálculos en Maple
9.6 Series de Taylor y Maclaurin
Series de Maclaurin de algunas funciones elementales
Otras series de Taylor y Maclaurin
Revisión de la fórmula de Taylor
9.7 Aplicaciones de las series de Taylor y Maclaurin
Aproximación de valores de funciones
Funciones definidas por integrales
Formas indeterminadas
9.8 El teorema binomial y la serie binomial
La serie binomial
9.9 Series de Fourier
Funciones periódicas
Series de Fourier
Convergencia de la serie de Fourier
Serie de Fourier en cosenos y senos
Repaso del capítulo

10 Vectores y geometría de coordenadas en el espacio tridimensional
10.1 Geometría analítica en tres dimensiones
Espacio euclídeo n-dimensional
Descripción de conjuntos en el plano, el espacio tridimensional y el espacio n-dimensional
10.2 Vectores
Vectores en el espacio tridimensional
Cables y cadenas que cuelgan
Producto escalar y proyecciones
Vectores en el espacio n-dimensional
10.3 Producto vectorial en el espacio tridimensional
Determinantes
El producto vectorial como un determinante
Aplicaciones del producto vectorial
10.4 Planos y rectas
Planos en el espacio tridimensional
Rectas en el espacio tridimensional
Distancias
10.5 Superficies cuadráticas
10.6 Un poco de álgebra lineal
Matrices
Determinantes e inversos de matrices
Transformaciones lineales
Ecuaciones lineales
Formas cuadráticas autovalores y autovectores
10.7 Uso de Maple para cálculos con vectores y matrices
Vectores
Matrices
Ecuaciones lineales
Autovectores y autofunciones
Repaso del capítulo

11 Funciones vectoriales y curvas
11.1 Funciones vectoriales de una variable
Diferenciación de combinaciones de vectores
11.2 Algunas aplicaciones de la diferenciación vectorial
Movimiento de una masa variable
Movimiento circular
Sistema de rotación y efecto de Coriolis
11.3 Curvas y parametrizaciones
Parametrización de la curva de intersección de dos superficies
Longitud de arco
Curvas suaves por tramos
Parametrización mediante la longitud de arco
11.4 Curvatura, torsión y sistema de referencia de Frenet
El vector tangente unitario
Curvatura y normal unitaria
Torsión y binormal, fórmulas de Frene-Serret
11.5 Curvatura y torsión para parametrizaciones generales
Aceleración tangencial y normal
Evolutas
Aplicación al diseño de vías (o carreteras)
Cálculos con Maple
11.6 Leyes de Kepler del movimiento planetario
Elipses en coordenadas polares
Componentes polares de la velocidad y la aceleración
Fuerzas centrales y segunda ley de Kepler
Obtención de las leyes de Kepler primera y tercera
Conservación de la energía
Repaso del capítulo

12 Diferenciación parcial
12.1 Funciones de varias variables
Representaciones gráficas
Uso de gráficos en Maple
12.2 Límites y continuidad
12.3 Derivadas parciales
Planos tangentes y rectas normales
Distancia de un punto a una superficie: un ejemplo geométrico
12.4 Derivadas de orden superior
Las ecuaciones de Laplace y de onda
12.5 La Regla de la Cadena
Funciones homogéneas
Derivadas de orden superior
12.6 Aproximaciones lineales, diferenciabilidad y diferenciales
Demostración de la Regla de la Cadena
Diferenciales
Funciones de un especio de n dimensiones en un espacio de m dimensiones
12.7 Gradientes y derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Tasas de cambio percibidas por un observador en movimiento
El gradiente en tres y más dimensiones
12.8 Funciones implícitas
Sistemas de ecuaciones
Determinantes jacobianos
El Teorema de la Función Implícita
12.9 Aproximaciones mediante series de Taylor
Aproximación de funciones implícitas
Repaso del capítulo

13 Aplicaciones de las derivadas parciales
13.1 Valores extremos
Clasificación de los puntos críticos
13.2 Valores extremos de funciones definida en dominios restringidos
Programación lineal
13.3 Multiplicadores de Lagrange
El método de los multiplicadores de Lagrange
Problemas con más de una restricción
Programación no lineal
13.4 El método de los mínimos cuadrados
Regresión lineal
Aplicaciones del método de los mínimos cuadrados a integrales
13.5 Problemas paramétricos
Diferenciación de integrales con parámetros
Envolventes
Ecuaciones con perturbaciones
13.6 Método de Newton
Realización del Método de Newton utilizando una hoja de cálculo
13.7 Cálculos con Maple
Resolución de sistemas de ecuaciones
Búsqueda y clasificación de puntos críticos
Repaso del capítulo

14 Integración múltiple
14.1 Integrales dobles
Integrales dobles en dominios más generales
Propiedades de la integral doble
Resolución de integrales dobles por inspección
14.2 Iteración de integrales dobles en coordenadas cartesianas
14.3 Integrales impropias y un teorema del valor medio
Integrales impropias de funciones positivas
Un teorema del valor medio para integrales dobles
14.4 Integrales dobles en coordenadas polares
Cambio de variables en integrales dobles
14.5 Integrales triples
14.6 Cambio de variables en integrales triples
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
14.7 Aplicaciones de las integrales múltiples
Área de la superficie de una gráfica
Atracción gravitatoria de un disco
Momentos y centros de masa
Momento de inercia
Repaso del capítulo

15 Campos vectoriales
15.1 Campos escalares y vectoriales
Líneas de campo (curvas integrales)
Campos vectoriales en coordenadas polares
15.2 Campos conservativos
Superficies y curvas equipotenciales
Fuentes, sumideros y dipolos
15.3 Integrales sobre curvas
Cálculo de integrales sobre curvas
15.4 Integrales sobre curvas de campos vectoriales
Dominios conexos y simplemente conexos
Independencia del camino
15.5 Superficies e integrales de superficie
Superficies paramétricas
Superficies compuestas
Integrales de superficie
Superficies suaves, normales y elementos de área
Cálculo de integrales de superficie
Atracción de una corteza esférica
15.6 Superficies orientadas e integrales de flujo
Superficies orientadas
Flujo de un campo vectorial por una superficie
Repaso del capítulo

16 Cálculo vectorial
16.1 Gradiente, divergencia y rotacional
Interpretación de la divergencia
Distribuciones y funciones delta
Interpretación del rotacional
16.2 Algunas identidades con el gradiente, la divergencia y el rotacional
Potencial escalar y potencial vector
Cálculos con Maple
16.3 El Teorema de Green en el plano
El Teorema de la Divergencia en dos dimensiones
16.4 El Teorema de la Divergencia en el espacio tridimensional
Variantes del Teorema de la Divergencia
16.5 El Teorema de Stokes
16.6 Algunas aplicaciones en Física del cálculo vectorial
Dinámica de fluidos
Electromagnetismo
Electrostática
Magnetostática
Ecuaciones de Maxwell
16.7 Coordenadas curvilíneas ortogonales
Curvas coordenadas y superficies coordenadas
Factores de escala y elementos diferenciales
Gra, div y rot en coordenadas curvilíneas ortogonales
Repaso del capítulo

17 Ecuaciones diferenciales ordinarias
17.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales
17.2 Solución de ecuaciones de primer orden
Ecuaciones separables
Ecuaciones homogéneas de primer orden
Ecuaciones exactas
Factores de integración
Ecuaciones lineales de primer orden
17.3 Existencia, unicidad y métodos numéricos
Existencia y unicidad de soluciones
Métodos numéricos
17.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones reducibles a primer orden
Ecuaciones lineales de segundo orden
17.5 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes
Ecuaciones de Euler (equidimensionales)
17.6 Ecuaciones lineales no homogéneas
Resonancia
Variación de parámetros
Cálculos de Maple
17.7 Soluciones de ecuaciones diferenciales basadas en series
Repaso del capítulo

Apéndice I. Números complejos
Definición de números complejos
Representación gráfica de números complejos
Aritmética compleja
Raíces de números complejos

Apéndice II. Funciones complejas
Límites y continuidad
La derivada compleja
La función exponencial
El Teorema Fundamental del Álgebra

Apéndice III. Funciones continuas
Límites de funciones
Funciones continuas
Complejidad y límites secuenciales
Funciones continuas en un intervalo cerrado y finito

Apéndice IV. La integral de Riemann
Continuidad Uniforme

Apéndice V. Realización de cálculos con Maple
Lista de ejemplos de Maple con su presentación

Respuestas a los ejercicios de numeración impar

Índice alfabético