Paul J. Nahin

Indeholder "Introduction", "Chapter 1. The Classic Pursuit Problem", " 1.1 Pierre Bouguer's Pirate Ship Analysis", " 1.2 A Modern Twist on Bouguer", " 1.3 Before Bouguer: The Tractrix", " 1.4 The Myth of Leonardo da Vinci", " 1.5 Apollonius Pursuit and Ramchundra's Intercept Problem", "Chapter 2. Pursuit of [Mostly] Maneuvering Targets", " 2.1 Hathaway's Dog-and-Duck Circular Pursuit Problem", " 2.2 Computer Solution of Hathaway's Pursuit Problem", " 2.3 Velocity and Acceleration Calculations for a Moving Body", " 2.4 Houghton's Problem: A Circular Pursuit That Is Solvable in Closed Form", " 2.5 Pursuit of Invisible Targets", " 2.6 Proportional Navigation", "Chapter 3. Cyclic Pursuit", " 3.1 A Brief History of the n-Bug Problem, and Why It Is of Practical Interest", " 3.2 The Symmetrical n-Bug Problem", " 3.3 Morley's Nonsymmetrical 3-Bug Problem", "Chapter 4. Seven Classic Evasion Problems", " 4.1 The Lady-in-the-Lake Problem", " 4.2 Isaac's Guarding-the-Target Problem", " 4.3 The Hidden Path Problem", " 4.4 The Hidden Object Problem: Pursuit and Evasion as a Simple Two-Person, Zero-Sum Game of Attack-and-Defend", " 4.5 The Discrete Search Game for a Stationary Evader - Hunting for Hiding Submarines", " 4.6 A Discrete Search Game with a Mobile Evader - Isaac's Princess-and-Monster Problem", " 4.7 Rado's Lion-and-Man Problem and Besicovitch's Astonishing Solution", "Appendix A. Solution to the Challenge Problems of Section 1.1", "Appendix B. Solution to the Challenge Problems of Section 1.2", "Appendix C. Solution to the Challenge Problems of Section 1.5", "Appendix D. Solution to the Challenge Problems of Section 2.2", "Appendix E. Solution to the Challenge Problems of Section 2.3", "Appendix F. Solution to the Challenge Problems of Section 2.5", "Appendix G. Solution to the Challenge Problems of Section 3.2", "Appendix H. Solution to the Challenge Problems of Section 4.3", "Appendix I. Solution to the Challenge Problems of Section 4.4", "Appendix J. Solution to the Challenge Problems of Section 4.7", "Appendix K. Guelman's Proof", "Notes", "Bibliography", "Acknowledgments", "Index".

Historien om forfølgelseskurver starter med en opgave om at finde ud af hvordan et piratskib der sejler hurtigere end et handelsskib kan indhente det og hvor længe det tager. Det giver ophav til allehånde konstruerede opgaver, hvoraf nogle få faktisk optræder i virkelige problemer.

Jeg kan ikke helt finde ud af hvad jeg mener om Nahins bøger. Der er mange integraler i dem og der er jeg ikke så interesseret i. De her opgaver og forsøg på at analysere kurverne, ville jeg nok kaste en computersimulering efter i stedet for at prøve at finde formler og diverse integraler. Der er lidt om hvorfor tractrix kurven er interessant i en historisk sammenhæng.… (más)

Indeholder "Preface", "1. Euler's Problem", " 1.1. Introducing Euler", " 1.2. The Harmonic Series and the Riemann Zeta Function", " 1.3. Euler's Constant, the Zeta Function, and Primes", " 1.4. Euler's Gamma Function, the Reflection Formula, and the Zeta Function", " 1.5. Ramanujan's Master Theorem", " 1.6. Integral Forms for the Harmonic Series and Euler's Constant", " 1.7. Euler's Constant and the Zeta Function Redux (and the Digamma Function, Too)", " 1.8. Calculating ζ(3)", "2. More Wizard Math and the Zeta Function ζ(s)", " 2.1. Euler's Infinite Series for ζ(2)", " 2.2. The Beta Function and the Duplication Formula", " 2.3. Euler Almost Computes ζ(3)", " 2.4. Integral Forms of ζ(2) and ζ(3)", " 2.5. Zeta Near s = 1", " 2.6. Zeta Prime at s = 0", " 2.7. Interlude", "3. Periodic Functions, Fourier Series, and the Zeta Function", " 3.1. The Concept of a Function", " 3.2. Periodic Functions and Their Fourier Series", " 3.3. Complex Fourier Series and Parseval's Power Formula", " 3.4. Calculating ζ(2n) with Fourier Series", " 3.5. How Fourier Series Fail to Compute ζ(3)", " 3.6. Fourier Transforms and Poisson Summation", " 3.7. The Functional Equation of the Zeta Function", "4. Euler Sums, the Harmonic Series, and the Zeta Function", " 4.1. Euler's Original Sums", " 4.2. The Algebra of Euler Sums", " 4.3. Euler's Double Sums", " 4.4. Euler Sums after Euler", "Epilogue", "Appendix 1: Solving the Impossible by Changing the Rules", "Appendix 2: Evaluating Integral_t=0_infinity(e^(-t^2)dt) and Integral_t=0_infinity(e^(-pt^2-q/t^2)dt)", "Appendix 3: Proof That Sum_q=1_infinity ( Sum_n=1_infinity and n ne q (1 /(qn (n-q)))) Equals Zero", "Appendix 4: Double Integration Reversal Isn't Always Legal", "Appendix 5: Impossibility Results from Computer Science", "Challenge Problem Solutions", "Acknowledgments", "Index".

ζ(3) også kaldet zeta(3) eller Apéry's konstant (efter Roger Apéry (1916 - 1994)) er 1.202056903159594285399738161511449990764986292... og er et irrationelt tal, som er summen af reciprokværdierne af alle kubiktallene, dvs 1 + 1/8 + 1/27 + 1/256 ... men man kender ikke nogen eksakt formel for tallet og det er først for nyligt at Apéry har bevist at det er irrationelt. zeta(s) er summen for i = 1 til uendelig af 1/(i ^ s). zeta(2) = pi^2 / 6. zeta af lige heltal er typisk rationelle tal * en potens af pi. Zeta af ulige tal over 1 har man ikke eksakte formler for. Der er en nydelig formel, der beregner zeta(2n) ved hjælp af alle værdierne af zeta(2), zeta(4) osv op til zeta(2n-2).

Her er en række nydelige resultater præsenteret med kommentarer, fx at summen af reciprokværdierne af primtallene også er divergent. Men ganske langsomt. som ln(ln(n)) langsomt.
Fx er summen af reciprokværdierne af den første million primtal kun 3.068219...
Gammafunktionen og Gamma(1/2) = sqrt(pi).
(n!) * (-n!) = n* pi / sin (n*pi) hvilket nåes på lidt lusket vis, men hvis resultatet holder vand, så følger Wallis' produkt nemt. Så det styrker tilliden til resultatet.
Gamma(n)*Gamma(1-n) = pi / sin(n * pi).
Riemann finder en formel for så Gamma(s)*zeta(s) = integralet fra 0 til uendelig af (x^(s-1))/(e^x - 1). Her er også forklaringer på at lave hurtigt konvergerende rækker for fx Eulers konstant. Euler og andre senere matematikere har brugt nogle underholdende cowboy-metoder på zeta(3) problemet. Stort set uden andet end negative resultater. Forfatteren her når langt omkring med omskrivninger af integraler og brug af Fourier-rækker. Men uden at der kommer noget ud af det.
Her er lidt snak (side 172) om det er fourier-rækker, maclaurin-rækker, taylor-rækker eller stirling-rækker. Og om at man jo kan opfatte en vilkårlig ikke-periodisk funktion som en periodisk funktion med en enkelt uendelig lang periode. Riemann-hypotesen bliver også nævnt, men den er svær at foreklare på det elementære niveau, som Nahin sigter efter. Her er fine bemærkninger om Tom Apostol, hvis bog om analytisk talteori, jeg har fulgt et kursus om. Her er også noget Matlab kode strået rundt.
I skrivende stund kende zeta(3) med over 1000 milliarder cifre takket være nogle smarte algoritmer.… (más)